Polígonos regulares y estrellados.


Un polígono es cualquier figura plana con más de dos lados o dos ángulos.
Se clasifican según su número de lados. El de tres lados es un triángulo. El de cuatro es un cuadrilátero. A partir de ese número su nombre es el que indica su número de lados en griego. Por ejemplo, un pentágono es una figura con cinco lados o ángulos, ya que “penta significa cinco en griego. Como “hexa significa seis, los polígonos de seis lados se llaman hexágonos, y así sucesivamente. El número de lados mínimo de un polígono es de tres, ya que un “polígono” de dos lados sería en realidad una línea.

Los polígonos pueden ser regulares o irregulares. Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales. (la palabra “regular” significa que es siempre igual). En el ejemplo de la derecha vemos la diferencia entre un pentágono regular e irregular. El triángulo equilátero y el cuadrado, por ejemplo, son polígonos regulares, puesto que sus lados y ángulos son siempre iguales.

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Polígonos estrellados son aquellos cuyos lados no van directamente de un vértice al de al lado, sino que se saltan uno o más para formar algo parecido a una estrella. Para que sean de verdad polígonos estrellados hace falta que el polígono empiece y termine en el mismo punto, pasando por todos los vértices. En el ejemplo de abajo vemos a la derecha un auténtico polígono estrellado (un heptágono, polígono de 7 lados) ya la izquierda un dibujo en forma de estrella de 6 lados que en realidad son dos polígonos normales (triángulos) enfrentados.

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Dependiendo del número de lados que tenga el polígono, el número de polígonos estrellados posibles es mayor. En el ejemplo de abajo vemos el único pentágono estrellado posible junto a los dos heptágonos estrellados que se pueden hacer: en el primero nos hemos saltado un vértice para construirlo, mientras en el segundo heptágono nos hemos saltado dos.

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En este capítulo aprenderemos algunos sistemas para construir polígonos regulares inscritos en una circunferencia dada, es decir, que todos sus vértices estén en la circunferencia. Los tres primeros son sistemas particulares para un sólo número de lados, pero el cuarto es un sistema general, esto quiere decir que sirve para cualquier número de lados que queramos a partir de tres. Es un ejercicio algo complicado pero que merece la pena aprender.

Al hacer estos ejercicios es fácil que no salga exacto. Esto es porque un error muy pequeño en el lado, al multiplicarse por el número de lados, dará una diferencia muy grande en el resultado. Hazlo lo más cuidadosamente posible y no te preocupes si el error es pequeño.

Trazar un hexágono inscrito en una circunferencia dada.


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(1 y 2) El dato necesario es una circunferencia. Lo primero que hacemos es trazar una diagonal cualquiera, hallando los puntos A y B.


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(3 y 4) Con la abertura del compás igual al radio de la circunferencia. trazamos dos arcos desde A y B hasta hallar los puntos C, D, E y F. Con esto hemos dividido la circunferencia en seis partes iguales, ya que el lado del hexágono mide lo mismo que el radio de la circunferencia donde está inscrito (circunscrita al hexágono). Para trazar el hexágono se unen cada uno de estos puntos con los dos más próximos.


Trazar un heptágono inscrito en una circunferencia dada.


(1 y 2) Se toma la circunferencia dada y se le traza un diámetro cualquiera. Pinchando en un extremo cualquiera (A) del diámetro se traza un arco que pase por el centro de la circunferencia y la corte en los puntos B y C. Se unen éstos con una recta que se cortará con el diámetro en el punto D. La distancia CD será el lado (L) del heptágono.


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(3 y 4) Con el lado L, y desde el punto A, se van hallando con el compás los siguientes puntos, que al unirse darán el heptágono.

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Trazar un pentágono regular inscrito en una circunferencia dada.


(1 y 2 ) Se parte de la circunferencia. Se traza un diámetro AB cualquiera y su mediatriz, que cortará a la circunferencia en C. Desde C se traza un arco que pase por el centro de la circunferencia y que la cortará en D y E. Se unen D y E con una recta, que cortará a la mediatriz en F.

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(3 y 4) Desde F se traza un arco que pasa por A y corta a la mediatriz en G. La distancia AG es el lado del pentágono que buscamos. Sólo queda trazar los lados con el compás y unirlos con rectas.

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Trazar un polígono regular cualquiera inscrito en una circunferencia dada.


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(1 y 2) Como siempre, partimos de la circunferencia como dato. Seguidamente trazamos un diámetro cualquiera (AB) y lo dividimos en el mismo número de partes iguales que el de lados del polígono que queremos trazar (En este caso puede ser un pentágono, por lo que lo dividiremos en cinco partes). Desde los dos extremos de la diagonal (A y B) y con una abertura igual al diámetro de la circunferencia se trazan dos arcos que se cortarán en un punto (C).

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(3 y 4) Desde ese punto C se traza una recta que pasa por el segundo punto (D) de la diagonal contando desde cualquier extremo (A en este caso). Cuando esta recta corte por segunda vez a la circunferencia, ese punto (E) estará a una distancia del extremo A igual al lado del polígono que buscamos (L). Sólo queda marcar los puntos con el compás con abertura L y trazar el polígono.



Se adjunta un fichero en formato PDF con los ejercicios para el alumno correspondientes a este tema.