Triángulos.


Los triángulos son figuras de tres lados. Son la base para hacer otras figuras más complejas, y son muy utilizados a la hora de hacer mediciones de distancias grandes y dibujos a gran escala. Se han usado hasta para medir la distancia de las estrellas.

Trazar un triángulo conociendo sus tres lados.


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1) Nos dan los datos, que son los tres lados (A, B y C ). Colocamos uno de ellos (por ejemplo A) en el lugar elegido.

(2) Pinchando en uno de sus extremos se traza un arco con la abertura igual a otro de los lados (por ejemplo B).

(3) Pinchando en el otro extremo se traza otro arco con abertura igual al lado que queda (en este caso C). Los dos arcos se cortan en un punto D.

(4) El punto D resulta ser el vértice del triángulo que buscamos, por lo que solo queda unirlo a los otros dos con rectas, que serán los lados.

Trazar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.


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(1 y 2) Los datos son dos lados (A y B) y el ángulo que deben formar los dos. En primer lugar se copia uno de los lados (por ejemplo A) al lugar elegido. Se transporta el ángulo (según el método del capítulo anterior) a un extremo cualquiera del lado, según nos convenga. Prolongamos el lado hallado del ángulo hasta que sea mayor que B.

(3 y 4) Pinchando en ese mismo extremo y con distancia igual a B se traza un arco que corte al último lado hallado. El punto donde corte será el vértice restante del triángulo que buscamos. Lo unimos mediante una recta al otro extremo del lado A y ya tenemos el triángulo pedido.

Trazar un triángulo conociendo un lado y sus dos ángulos adyacentes.



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Ángulos adyacentes de un lado son aquellos que están en sus extremos. Es lo contrario del ángulo opuesto a un lado, que es que no está en ninguno de sus extremos.

(1 y 2) Los datos que nos dan son el lado (A) y dos ángulos (B y C). En primer lugar colocamos el lado A. En el extremo de A que creamos más conveniente transportamos uno de los ángulos.

(3 y 4) En el otro extremo se transporta el otro ángulo, pero en la dirección contraria al anterior. El punto donde se cortan las dos rectas halladas de los dos ángulos es el vértice que nos queda del triángulo. Sólo queda unirlo con rectas a los extremos de A y ya tenemos el ángulo pedido.


Trazar un triángulo conociendo sus dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.


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(1) Los datos necesarios son: dos lados (A y B) y el ángulo B (con el signo ^ encima). Los ángulos y los lados opuestos se llaman igual, así que ya sabemos que el lado B y el ángulo B son opuestos. Lo primero que se hace es colocar el lado no opuesto (en este caso, el lado A).

(2) Sobre un extremo cualquiera del lado A, por ejemplo, el izquierdo, se transporta el ángulo B (ver el ejercicio “transportar un ángulo”) y la línea resultante se prolonga un poco.

(3) Pinchando en el otro extremo del lado A (el derecho, en este caso ), y con una abertura de compás igual al lado B, se traza un arco de circunferencia que corte a la línea anterior. En este caso corta en dos puntos (C y D).

Si el lado B es menor que el A, normalmente corta a la recta en dos puntos, cada uno de ellos es el vértice (el pico del ángulo) que falta para hacer el triángulo. Esto significa que hay dos triángulos posibles (están remarcados). Si el lado B es mayor que el A, sólo hay una solución posible.


Se adjunta un fichero en formato PDF con los ejercicios para el alumno correspondientes a este tema.



Puntos notables del triángulo.


Los puntos notables del triángulo son cuatro puntos que tienen características interesantes respecto al triángulo. Los cuatro puntos notables del triángulo son:

- El Incentro.
- El Circuncentro.
- El Baricentro.
- El Ortocentro.

Estos cuatro puntos coinciden cuando el triángulo es equilátero, y cuando no, están formando una línea recta.

Incentro de un triángulo.


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Incentro es el punto que está a la misma distancia a los tres lados del triángulo. Sería el centro de una circunferencia inscrita al triángulo ( incentro = centro de la circunferencia inscrita).

Para hallarlo se usan las bisectrices, que recordaréis que era la línea que estaba a la misma distancia de dos rectas. Se halla de esta forma.

(1 y 2) El dato para hallar el incentro de un triángulo es, por supuesto, un triángulo. Usaremos uno escaleno, como ejemplo. Se halla la bisectriz de un ángulo cualquiera. Sería conveniente construirla con distancias largas para aumentar la precisión.

(3 y 4) Se halla la bisectriz de otro ángulo cualquiera, también con distancias largas. El punto (C) donde se corten será el incentro del triángulo. Para asegurar la precisión del ejercicio, y aunque no es estrictamente necesario para hallar el punto, hallaremos la bisectriz del ángulo restante. Así comprobaremos de paso que el resultado no depende de los ángulos escogidos. En el dibujo hemos colocado en trazo grueso la circunferencia inscrita del triángulo.


Circuncentro de un triángulo.


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Circuncentro de un triángulo es el punto que está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. Eso significa que podemos trazar una circunferencia que englobe al triángulo y pase por los vértices. Esa circunferencia se llama circunscrita. El circuncentro se llama así porque es el centro de la circunferencia circunscrita.

(1 y 2) Tenemos un triángulo cualquiera, que es el dato. Lo primero que hacemos es la mediatriz a un lado cualquiera del triángulo.

(3 y 4) Se traza la mediatriz de otro lado cualquiera. El punto donde se cortan las dos mediatrices es el circuncentro. Si se trazara la mediatriz del lado que nos queda pasaría exactamente por ese punto. De hecho, se recomienda que se haga como comprobación. En el dibujo final se ha dibujado en trazo grueso la circunferencia circunscrita del triángulo.

El circuncentro se halla así porque la mediatriz es la recta de los puntos que están a la misma distancia de dos puntos dados. El punto donde se cortan las dos mediatrices pertenece a las dos mediatrices, luego está al mismo tiempo a la misma distancia de los tres extremos de los lados, que son los vértices. Observa que el circuncentro no tiene que estar necesariamente dentro del triángulo.


Baricentro de un triángulo.


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El baricentro podría definirse como el centro geométrico del triángulo. Si colgamos un triángulo desde ese punto, el triángulo no se moverá, porque no habría un lado que pesara más que otro.

El baricentro se halla trazando las medianas del triángulo. Las medianas son líneas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto a éste. Como para hallar el punto medio del lado es preciso trazar su mediatriz, frecuentemente se confunden mediana con mediatriz.

( 1 y 2 ) Para hallar el baricentro, partimos de un triángulo cualquiera, y trazamos la primera mediana. Observa que la mediana va desde un vértice del triángulo hasta la mitad del lado opuesto (el que no toca a ese vértice ). La mediatriz que se ha dibujado en el lado ha servido sólo para poder encontrar su mitad.

( 3 y 4 ) Se traza la mediana de otro vértice cualquiera, con cuidado de no equivocarse de líneas. El punto donde se crucen ( c ) será el Baricentro.


Ortocentro de un triángulo.


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El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. Altura de un triángulo es la línea que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto a ese vértice. Es el punto más difícil de hallar, porque son precisas muchas líneas y es fácil equivocarse. Es necesario ir paso a paso, sin despistarse.

( 1 y 2 ) Tenemos un ángulo cualquiera. Para hallar el ortocentro empezaremos por trazar la primera altura. La altura se halla escogiendo un vértice cualquiera y su lado opuesto. Después se traza la perpendicular al lado que pasa por el vértice opuesto, del modo que ya se ha descrito antes.

( 3 y 4 ) Seguidamente se traza la altura de cualquier otro vértice. En el caso de que el lado no sea lo suficientemente largo, debe alargarse, como ocurre en esta ocasión. El punto ( C ) donde se cortan es el Ortocentro. Observa que el ortocentro no tiene por qué estar dentro del triángulo.


Se adjunta un fichero en formato PDF con los ejercicios para el alumno correspondientes a este tema.